4. Решить неравенства: 1) \((0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7}\); 2) \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0\)

Решение:

1. \((0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7}\)
   Представим числа в виде степени 0,3:
   \((0,3^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7}\)
   \(0,3^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7}\)
   \(0,3^{10x-2} < 0,3^{x+7}\)
   Так как основание степени \(0,3 < 1\), то при раскрытии неравенства знак меняется на противоположный:
   \(10x - 2 > x + 7\)
   \(10x - x > 7 + 2\)
   \(9x > 9\)
   \(x > 1\)
2. \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0\)
   Пусть \(t = 5^x\). Тогда \(25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 = t^2\).
   Уравнение примет вид:
   \(t^2 + 4t - 5 \ge 0\)
   Найдем корни квадратного трехчлена \(t^2 + 4t - 5 = 0\):
   \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)
   \(t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4+6}{2} = 1\)
   \(t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4-6}{2} = -5\)
   Квадратный трехчлен \(t^2 + 4t - 5\) неотрицателен, когда \(t \le -5\) или \(t \ge 1\).
   Возвращаемся к замене \(t = 5^x\). Так как \(5^x > 0\) для любого \(x\), то \(t \le -5\) не имеет решений.
   Рассматриваем \(t \ge 1\):
   \(5^x \ge 1\)
   \(5^x \ge 5^0\)
   Так как основание степени \(5 > 1\), то:
   \(x \ge 0\)

Ответ: 1) x > 1; 2) x ≥ 0.