3. Решить уравнения: 1) \(5 \cdot 25^x = 125\); 2) \(4^{x^2 - 7x + 10} = 1\); 3) \(3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)

Решение:

1. \(5 \cdot 25^x = 125\)
   \(25^x = \frac{125}{5}\)
   \(25^x = 25\)
   \(x = 1\)
2. \(4^{x^2 - 7x + 10} = 1\)
   Так как \(a^0 = 1\) для любого \(a \neq 0\), то:
   \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
   Дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)
   \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5\)
   \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2\)
3. \(3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)
   Пусть \(t = 3^x\), тогда \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2\).
   Уравнение примет вид:
   \(3t^2 - 10t + 3 = 0\)
   Дискриминант \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\)
   \(t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
   \(t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
   Возвращаемся к замене:
   Если \(t_1 = 3\), то \(3^x = 3\), значит \(x = 1\).
   Если \(t_2 = \frac{1}{3}\), то \(3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}\), значит \(x = -1\).

Ответ: 1) x = 1; 2) x₁ = 5, x₂ = 2; 3) x₁ = 1, x₂ = -1.