4. Решить неравенства: 1) \((0.09)^{5x-1} < 0.3^{3x+7}\); 2) \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0\)

Решение:

1. \((0.09)^{5x-1} < 0.3^{3x+7}\)

Переведём \(0.09\) в степень \(0.3\): \(0.09 = (0.3)^2\).

\(((0.3)^2)^{5x-1} < 0.3^{3x+7}\)

\((0.3)^{2(5x-1)} < 0.3^{3x+7}\)

\((0.3)^{10x-2} < 0.3^{3x+7}\)

Так как основание степени \(0.3 < 1\), при раскрытии неравенства знаки меняются на противоположные:

\(10x - 2 > 3x + 7\)

\(10x - 3x > 7 + 2\)

\(7x > 9\)

\(x > \frac{9}{7}\)

2. \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0\)

Сделаем замену: \(t = 5^x\), где \(t > 0\).

\((5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0\)

\(t^2 + 4t - 5 \ge 0\)

Найдем корни квадратного трёхчлена \(t^2 + 4t - 5 = 0\).

\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

\(t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\)

\(t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\)

\(t^2 + 4t - 5 = (t - 1)(t + 5)\).

Неравенство \((t - 1)(t + 5) \ge 0\) выполняется при \(t \le -5\) или \(t \ge 1\).

Учитывая, что \(t = 5^x > 0\), нам подходит только \(t \ge 1\).

\(5^x \ge 1\)

\(5^x \ge 5^0\)

Так как основание степени \(5 > 1\), сохраняем знак неравенства:

\(x \ge 0\)

Ответ: 1) \(x > \frac{9}{7}\); 2) \(x \ge 0\).