4. Решить дифференциальные уравнения: 1) y'' +2y' +y = 0; 2) y'=4x³.y³.

Решение:

1. Дифференциальное уравнение первого порядка:
   \( y'' + 2y' + y = 0 \)
   Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:
   \[ r^2 + 2r + 1 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение:
   \[ (r+1)^2 = 0 \]
   Это уравнение имеет один корень кратности 2: \( r = -1 \).
   Общее решение имеет вид:
   \[ y(x) = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx} \]
   Подставляя \( r = -1 \):
   \[ y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \]
2. Дифференциальное уравнение второго порядка:
   \( y' = 4x^3 y^3 \)
   Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
   \[ \frac{dy}{dx} = 4x^3 y^3 \]\[ \frac{dy}{y^3} = 4x^3 dx \]
   Проинтегрируем обе части:
   \[ \int \frac{dy}{y^3} = \int 4x^3 dx \]
   \[ \int y^{-3} dy = 4 \int x^3 dx \]
   \[ \frac{y^{-2}}{-2} = 4 \frac{x^4}{4} + C \]
   \[ -\frac{1}{2y^2} = x^4 + C \]
   Выразим \( y \):
   \[ \frac{1}{2y^2} = -x^4 - C \]
   \[ 2y^2 = \frac{1}{-x^4 - C} \]
   \[ y^2 = \frac{1}{2(-x^4 - C)} \]
   \[ y = \pm \sqrt{\frac{1}{2(-x^4 - C)}} \]

Ответ: 1) \( y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \); 2) \( y = \pm \sqrt{\frac{1}{2(-x^4 - C)}} \).