2. Найти интегралы: 1) \(\int (4\cos 5x - 5e^{3x} + 7\sin (-x + 4))dx; 2) \int (x + 6x^3 + 7)\(\sqrt{x} + x^2\)dx.

Решение:

1. Интеграл 1:
   \( \int (4\cos 5x - 5e^{3x} + 7\sin (-x + 4))dx \)
   Используем таблицу интегралов:
   \( \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C \)
   \( \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \)
   \( \int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C \)
   Применяем правила:
   \( 4 \int \cos(5x) dx = 4 \cdot \frac{1}{5} \sin(5x) = \frac{4}{5} \sin(5x) \)
   \( -5 \int e^{3x} dx = -5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} = -\frac{5}{3} e^{3x} \)
   \( 7 \int \sin(-x+4) dx = 7 \cdot \frac{1}{-1} \cos(-x+4) = -7 \cos(-x+4) \)
   Объединяя результаты:
   \( \frac{4}{5} \sin(5x) - \frac{5}{3} e^{3x} - 7 \cos(-x+4) + C \)
2. Интеграл 2:
   \( \int (x + 6x^3 + 7)(\sqrt{x} + x^2)dx \)
   Сначала раскроем скобки:
   \( (x + 6x^3 + 7)(\sqrt{x} + x^2) = x\sqrt{x} + x^3 + 6x^3\sqrt{x} + 6x^5 + 7\sqrt{x} + 7x^2 \)
   Представим \(\sqrt{x}\) как \(x^{1/2}\):
   \( x^{3/2} + x^3 + 6x^{7/2} + 6x^5 + 7x^{1/2} + 7x^2 \)
   Теперь проинтегрируем каждый член:
   \( \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
   \( \int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} \)
   \( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \)
   \( 6 \int x^{7/2} dx = 6 \frac{x^{9/2}}{9/2} = 6 \cdot \frac{2}{9} x^{9/2} = \frac{4}{3} x^{9/2} \)
   \( 6 \int x^5 dx = 6 \frac{x^6}{6} = x^6 \)
   \( 7 \int x^{1/2} dx = 7 \frac{x^{3/2}}{3/2} = 7 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{14}{3} x^{3/2} \)
   \( 7 \int x^2 dx = 7 \frac{x^3}{3} \)
   Объединяя результаты:
   \( \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3} x^{9/2} + x^6 + \frac{14}{3} x^{3/2} + \frac{7}{3}x^3 + C \)

Ответ: 1) \( \frac{4}{5} \sin(5x) - \frac{5}{3} e^{3x} - 7 \cos(-x+4) + C \); 2) \( \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3} x^{9/2} + x^6 + \frac{14}{3} x^{3/2} + \frac{7}{3}x^3 + C \).