4. Разложите на множители: а) 3х³у³ - 3x⁴y² + 9x²y; б) 2x - x² + y² + 2y .

а) Разложение на множители выражения 3x³y³ - 3x⁴y² + 9x²y

Найдем общий множитель для всех членов выражения.

Общий числовой множитель: наибольший общий делитель чисел 3, 3, 9 — это 3.

Общий буквенный множитель для x: наименьшая степень x — это x².

Общий буквенный множитель для y: наименьшая степень y — это y.

Таким образом, общий множитель — 3x²y.

Вынесем его за скобки:

\[ 3x^2y( \frac{3x^3y^3}{3x^2y} - \frac{3x^4y^2}{3x^2y} + \frac{9x^2y}{3x^2y} ) \]

\[ 3x^2y(x y^2 - x^2 y + 3) \]

Ответ: 3x²y(xy² - x²y + 3)

б) Разложение на множители выражения 2x - x² + y² + 2y

Перегруппируем члены так, чтобы сгруппировать похожие переменные:

\[ (y^2 + 2y) + (2x - x^2) \]

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\[ y(y+2) + x(2-x) \]

Этот вид не позволяет дальнейшее разложение на множители. Попробуем другую группировку, выделив полные квадраты:

\[ (y^2 + 2y + 1) - x^2 + 2x - 1 \]

Это тоже не приводит к простому разложению. Попробуем выделить полный квадрат для y и x:

\[ (y^2 + 2y) - (x^2 - 2x) \]

Добавим и вычтем 1, чтобы получить полные квадраты:

\[ (y^2 + 2y + 1) - 1 - (x^2 - 2x + 1) + 1 \]

\[ (y+1)^2 - 1 - (x-1)^2 + 1 \]

\[ (y+1)^2 - (x-1)^2 \]

Теперь у нас разность квадратов вида a² - b² = (a - b)(a + b), где a = (y+1) и b = (x-1).

\[ ((y+1) - (x-1))((y+1) + (x-1)) \]

\[ (y + 1 - x + 1)(y + 1 + x - 1) \]

\[ (y - x + 2)(y + x) \]

Ответ: (y - x + 2)(y + x)