4. Постройте на чертеже к заданию 1 четырехугольник ABCD. Найдите координаты точки пересечения отрезков AC и BD.

Решение:

Для нахождения точки пересечения отрезков AC и BD, нам нужно найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, и решить систему этих уравнений.

1. Уравнение прямой AC:

Точки A(2;4) и C(0;-4).

Найдём угловой коэффициент \( k_{AC} \):

\[ k_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 4}{0 - 2} = \frac{-8}{-2} = 4 \]

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Используем точку C(0;-4), чтобы найти \( b \):

\[ -4 = 4 \cdot 0 + b \implies b = -4 \]

Уравнение прямой AC: \( y = 4x - 4 \).

2. Уравнение прямой BD:

Точки B(5;1) и D(-3;-1).

Найдём угловой коэффициент \( k_{BD} \):

\[ k_{BD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{-3 - 5} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \]

Используем точку B(5;1), чтобы найти \( b \):

\[ 1 = \frac{1}{4} \cdot 5 + b \implies 1 = \frac{5}{4} + b \implies b = 1 - \frac{5}{4} = \frac{4 - 5}{4} = -\frac{1}{4} \]

Уравнение прямой BD: \( y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \).

3. Решение системы уравнений:

Приравняем уравнения прямых:

\[ 4x - 4 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 16x - 16 = x - 1 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 16x - x = 16 - 1 \implies 15x = 15 \implies x = 1 \]

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 1 \) в любое из уравнений. Используем уравнение прямой AC:

\[ y = 4 \cdot 1 - 4 = 4 - 4 = 0 \]

Таким образом, точка пересечения отрезков AC и BD имеет координаты (1;0).

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AC и BD равны (1;0).