4. Площадь прямоугольного треугольника равна 450√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пошаговое решение:

1. Площадь прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты.
2. Дано: $$S = 450\sqrt{3}$$, один острый угол равен $$60°$$. Пусть этот угол находится при катете $$a$$, тогда $$a$$ — прилежащий катет, а $$b$$ — противолежащий.
3. Связь между катетами и углом: $$\tan(60°) = \frac{b}{a}$$.
4. Известно, что $$\tan(60°) = \sqrt{3}$$.
5. Следовательно, $$\sqrt{3} = \frac{b}{a}$$, откуда $$b = a\sqrt{3}$$.
6. Подставляем это в формулу площади: $$450\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{3})$$.
7. $$450\sqrt{3} = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{3}$$.
8. Делим обе части на $$\sqrt{3}$$: $$450 = \frac{1}{2} a^2$$.
9. Умножаем на 2: $$a^2 = 900$$.
10. Находим $$a$$: $$a = \sqrt{900} = 30$$.

Ответ: 30