4. Отметьте на координатной плоскости точки A (-4; 2), B (0; -3) и M (5; 2). Проведите прямую AB. Через точку M проведите прямую m, параллельную прямой AB, и прямую n, перпендикулярную прямой AB.

Решение:

1. Построение точек на координатной плоскости:

• Точка A имеет координаты (-4; 2). От начала координат (0,0) отступаем 4 единицы влево по оси X и 2 единицы вверх по оси Y.


• Точка B имеет координаты (0; -3). Это точка на оси Y, расположенная на 3 единицы ниже начала координат.


• Точка M имеет координаты (5; 2). От начала координат (0,0) отступаем 5 единиц вправо по оси X и 2 единицы вверх по оси Y.

2. Проведение прямой AB:

• Соединим точки A (-4; 2) и B (0; -3) прямой линией.


• Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой AB:


• k_{AB} = \(\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) = \(\frac{-3 - 2}{0 - (-4)}\) = \(\frac{-5}{4}\).

3. Проведение прямой m, параллельной прямой AB, через точку M:

• Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.


• Угловой коэффициент прямой m равен k_m = k_{AB} = -5/4.


• Уравнение прямой m будет иметь вид: y = k_m \(\cdot\) x + c, или y = -5/4 \(\cdot\) x + c.


• Так как прямая m проходит через точку M (5; 2), подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти c:


• 2 = -5/4 \(\cdot\) 5 + c.


• 2 = -25/4 + c.


• c = 2 + 25/4 = 8/4 + 25/4 = 33/4.


• Уравнение прямой m: y = -5/4 \(\cdot\) x + 33/4.

4. Проведение прямой n, перпендикулярной прямой AB, через точку M:

• Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением: k_n \(\cdot\) k_{AB} = -1.


• k_n \(\cdot\) (-5/4) = -1.


• k_n = \(\frac{-1}{-5/4}\) = 4/5.


• Уравнение прямой n будет иметь вид: y = k_n \(\cdot\) x + d, или y = 4/5 \(\cdot\) x + d.


• Так как прямая n проходит через точку M (5; 2), подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти d:


• 2 = 4/5 \(\cdot\) 5 + d.


• 2 = 4 + d.


• d = 2 - 4 = -2.


• Уравнение прямой n: y = 4/5 \(\cdot\) x - 2.

5. Визуализация (описание):

• Начертите оси координат X и Y.


• Отметьте точки A(-4, 2), B(0, -3), M(5, 2).


• Проведите прямую через A и B.


• Через точку M проведите прямую с угловым коэффициентом -5/4 (она будет идти вниз и вправо, как AB).


• Через точку M проведите прямую с угловым коэффициентом 4/5 (она будет идти вверх и вправо, пересекая AB под прямым углом).

Ответ: Уравнение прямой AB: $$y = -5/4 x - 3$$. Уравнение прямой m: $$y = -5/4 x + 33/4$$. Уравнение прямой n: $$y = 4/5 x - 2$$.