4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при основании и радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом В. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \).

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом \( \alpha \) при основании. Пусть боковые стороны этого треугольника равны \( b \), а основание — \( a \).

Радиус вписанной окружности \( r \).

Площадь основания \( S_{осн} \) можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр \( p \): \( S_{осн} = p \cdot r \).

Полупериметр \( p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{a + 2b}{2} \).

В равнобедренном треугольнике, проведём высоту к основанию \( a \). Она делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с углом \( \alpha \) при основании. В этом треугольнике:

• \( \frac{a}{2} = b \cos(\alpha) \)
• \( h_{осн} = b \sin(\alpha) \)

Отсюда \( a = 2b \cos(\alpha) \).

Тогда \( p = \frac{2b \cos(\alpha) + 2b}{2} = b(1 + \cos(\alpha)) \).

\( S_{осн} = b(1 + \cos(\alpha)) \cdot r \).

Теперь найдём высоту пирамиды \( H \).

Условие, что две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, означает, что высота пирамиды (опущенная из вершины пирамиды на основание) будет лежать в плоскости третьей боковой грани.

Третья боковая грань наклонена к основанию под углом \( \beta \).

Рассмотрим эту третью боковую грань. Её основание — сторона \( a \) равнобедренного треугольника. Пусть \( H \) — высота пирамиды, \( h_{осн} \) — высота основания (проведённая к стороне \( a \)), \( l \) — апофема третьей боковой грани (высота, опущенная из вершины пирамиды на сторону \( a \) основания).

В плоскости третьей боковой грани, \( H \) — катет, \( h_{осн} \) — другой катет, \( l \) — гипотенуза. Угол между боковой гранью и основанием — это угол между \( l \) и \( h_{осн} \), то есть \( \angle (l, h_{осн}) = \beta \).

\( H = h_{осн} \tan(\beta) \).

Мы знаем, что \( h_{осн} = b \sin(\alpha) \). Также, \( b = \frac{a}{2 \cos(\alpha)} \). Подставим это в \( h_{осн} \):

\[ h_{осн} = \frac{a}{2 \cos(\alpha)} \sin(\alpha) = \frac{a}{2} \tan(\alpha) \]

Итак, \( H = \frac{a}{2} \tan(\alpha) \tan(\beta) \).

Теперь найдём \( a \) и \( r \) через \( b \) и \( \alpha \) для \( S_{осн} \). Для этого воспользуемся тем, что \( r = \frac{S_{осн}}{p} \) и \( p = \frac{a+2b}{2} \). Также, \( S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha) \).

\( r = \frac{\frac{a^2}{4} \tan(\alpha)}{\frac{a + 2b}{2}} = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{2(a + 2b)} \).

Из \( a = 2b \cos(\alpha) \) следует \( b = \frac{a}{2 \cos(\alpha)} \).

\( r = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{2(a + 2 \frac{a}{2 \cos(\alpha)})} = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{2(a + \frac{a}{\cos(\alpha)})} = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{2a(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)})} = \frac{a \tan(\alpha)}{2 \frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)}} = \frac{a \sin(\alpha)}{2 \cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha) + 1} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(\cos(\alpha) + 1)} \).

Отсюда \( a = \frac{2r(\cos(\alpha) + 1)}{\sin(\alpha)} \).

Теперь подставим \( a \) в формулу для \( H \):

\[ H = \frac{1}{2} \cdot \frac{2r(\cos(\alpha) + 1)}{\sin(\alpha)} \cdot \tan(\alpha) \tan(\beta) = \frac{r(\cos(\alpha) + 1)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \tan(\beta) = r \frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)} \tan(\beta) \]

\( H = r (1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}) \tan(\beta) \).

А \( S_{осн} = p \cdot r = \frac{a + 2b}{2} \cdot r = \frac{\frac{2r(\cos(\alpha) + 1)}{\sin(\alpha)} + 2 \frac{r(\cos(\alpha) + 1)}{\cos(\alpha)}}{2} \cdot r \)

\[ S_{осн} = r \left( \frac{r(\cos(\alpha) + 1)}{\sin(\alpha)} + \frac{r(\cos(\alpha) + 1)}{\cos(\alpha)} \right) \]

\[ S_{осн} = r^2 (\cos(\alpha) + 1) \left( \frac{1}{\sin(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)} \right) \]

\[ S_{осн} = r^2 (\cos(\alpha) + 1) \frac{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} \]

Подставим \( S_{осн} \) и \( H \) в формулу объёма:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left( r^2 (\cos(\alpha) + 1) \frac{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} \right) \cdot \left( r \frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)} \tan(\beta) \right) \]

\[ V = \frac{1}{3} r^3 \frac{(\cos(\alpha) + 1)^2 (\cos(\alpha) + \sin(\alpha)) \tan(\beta)}{\sin(\alpha) \cos^2(\alpha)} \]

Ответ: \( V = \frac{1}{3} r^3 \frac{(\cos(\alpha) + 1)^2 (\cos(\alpha) + \sin(\alpha)) \tan(\beta)}{\sin(\alpha) \cos^2(\alpha)} \).