5. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите объём пирамиды, если её высота равна h.

Решение:

Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Обозначим сторону основания как \( a \).

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Нам нужно найти сторону основания \( a \) через высоту пирамиды \( h \) и плоский угол при вершине \( \alpha \).

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Это равнобедренный треугольник. Плоский угол при вершине \( \alpha \) — это угол между двумя боковыми рёбрами. Пусть \( l \) — длина бокового ребра.

В правильной треугольной пирамиде апофема (высота боковой грани) \( k \) связана с высотой пирамиды \( h \) и расстоянием от центра основания до середины стороны основания \( r \) (радиус вписанной окружности) следующим образом:

\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом вписанной окружности \( r \) и апофемой \( k \).

\( k^2 = h^2 + r^2 \)

Теперь рассмотрим половину боковой грани. Она является прямоугольным треугольником с гипотенузой \( l \) и катетами \( k \) и \( \frac{a}{2} \).

Плоский угол при вершине \( \alpha \) — это угол между двумя боковыми рёбрами \( l \).

В равнобедренном треугольнике боковой грани, если провести высоту \( k \) к основанию \( a \), она разделит угол \( \alpha \) пополам. Так что угол между \( l \) и \( k \) будет \( \frac{\alpha}{2} \).

В прямоугольном треугольнике с катетами \( k \) и \( \frac{a}{2} \) и гипотенузой \( l \) имеем:

\( \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{k} \)

\( k = \frac{a/2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \tan(\frac{\alpha}{2})} \)

Подставим это в уравнение \( k^2 = h^2 + r^2 \):

\( (\frac{a}{2 \tan(\frac{\alpha}{2})})^2 = h^2 + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2 \)

\( \frac{a^2}{4 \tan^2(\frac{\alpha}{2})} = h^2 + \frac{a^2}{12} \)

\( \frac{a^2}{4 \tan^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{12} = h^2 \)

\( a^2 (\frac{1}{4 \tan^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{1}{12}) = h^2 \)

\( a^2 (\frac{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{12 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}) = h^2 \)

\( a^2 = \frac{12 h^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \)

\( a = h \sqrt{\frac{12 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}} = h \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\frac{12}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}} \)

Теперь подставим \( a^2 \) в формулу площади основания:

\( S_{осн} = \frac{(\frac{12 h^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}) \sqrt{3}}{4} = \frac{3 h^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3}}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \)

И, наконец, найдём объём:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 h^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3}}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot h \)

\( V = \frac{h^3 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3}}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \)

Ответ: Объём пирамиды равен \( \frac{h^3 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3}}{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \).