3. Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 8 см, а высота - 9 см.

Решение:

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \), где \( h \) — высота усечённой пирамиды, \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

1. Найдём площади оснований:
   Основаниями являются правильные треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
   Площадь нижнего основания (сторона \( a_1 = 8 \text{ см} \)):
   \( S_1 = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \)
   Площадь верхнего основания (сторона \( a_2 = 6 \text{ см} \)):
   \( S_2 = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \)
2. Вычислим произведение площадей:
   \( \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} = \sqrt{144 \cdot 3} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \)
3. Подставим значения в формулу объёма:
   Высота усечённой пирамиды \( h = 9 \text{ см} \).
   \( V = \frac{1}{3} \cdot 9 \text{ см} \cdot (16\sqrt{3} \text{ см}^2 + 9\sqrt{3} \text{ см}^2 + 12\sqrt{3} \text{ см}^2) \)
   \( V = 3 \text{ см} \cdot (37\sqrt{3} \text{ см}^2) \)
   \( V = 111\sqrt{3} \text{ см}^3 \)

Ответ: Объём правильной усечённой треугольной пирамиды равен 111\(\sqrt{3}\) см³.