№ 4. Найти шестой член и разность арифметической прогрессии, если сумма ее пятого и седьмого члена равна 54, а второй член равен 39.

Решение:

Дано арифметическую прогрессию \( a_n \).

1. Из условия известно:
• \( a_5 + a_7 = 54 \)
• \( a_2 = 39 \)
2. Вспомним свойства арифметической прогрессии:
• \( a_n = a_1 + (n-1)d \)
• \( a_k + a_m = a_p + a_q \), если \( k+m = p+q \).
3. Используем свойство для \( a_5 + a_7 \):
   \( a_5 + a_7 = 2a_6 \).
4. Подставим значение в первое условие:
   \( 2a_6 = 54 \)
5. Найдём шестой член:
   \( a_6 = \frac{54}{2} = 27 \).
6. Теперь используем \( a_2 = 39 \) и \( a_6 = 27 \) для нахождения разности \( d \).
   \( a_6 = a_2 + (6-2)d \)
   \( 27 = 39 + 4d \)
7. Решим уравнение относительно \( d \):
   \( 4d = 27 - 39 \)
   \( 4d = -12 \)
   \( d = -3 \).

Ответ: \( a_6 = 27 \), \( d = -3 \).