1. Показать, что функция F(x) является первообразной функции f(х) при х>0: 1) F(x)= \(\frac{2}{x}\), f(x) = -\(\frac{2}{x^2}\) 2) F(x)=1+√x, f(x) = \(\frac{1}{2√x}\)

Решение:

Чтобы показать, что \( F(x) \) является первообразной функции \( f(x) \), нужно найти производную \( F'(x) \) и проверить, равна ли она \( f(x) \).

1. \( F(x) = \frac{2}{x} = 2x^{-1} \)
   \( F'(x) = (2x^{-1})' = 2(-1)x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2} \)
   Так как \( F'(x) = f(x) \), то \( F(x) \) является первообразной \( f(x) \).
2. \( F(x) = 1 + \sqrt{x} = 1 + x^{\frac{1}{2}} \)
   \( F'(x) = (1)' + (x^{\frac{1}{2}})' = 0 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
   Так как \( F'(x) = f(x) \), то \( F(x) \) является первообразной \( f(x) \).