3. Для функции f(х) найти первообразную, график которой проходит через точку М: 1) f(x) = x², M(1;1) 2) f(x) = 2√x, M(2;3)

Решение:

1. \( f(x) = x^2 \)
   Найдём первообразную: \( F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \).
   График проходит через точку \( M(1;1) \), значит, \( F(1) = 1 \).
   \( \frac{1^3}{3} + C = 1 \)
   \( \frac{1}{3} + C = 1 \)
   \( C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
   Первообразная: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{2}{3} \).
2. \( f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}} \)
   Найдём первообразную: \( F(x) = \int 2x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \).
   График проходит через точку \( M(2;3) \), значит, \( F(2) = 3 \).
   \( \frac{4}{3} (2)^{\frac{3}{2}} + C = 3 \)
   \( \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} + C = 3 \)
   \( \frac{8\sqrt{2}}{3} + C = 3 \)
   \( C = 3 - \frac{8\sqrt{2}}{3} \).
   Первообразная: \( F(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 - \frac{8\sqrt{2}}{3} \).

Ответ: 1) \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{2}{3} \); 2) \( F(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 - \frac{8\sqrt{2}}{3} \).