4. Найдите значение выражения: a) \( \frac{2^3 \cdot (2^5)^5}{2^{16}} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель дроби. Сначала раскроем скобки, используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (2^5)^5 = 2^{5 \cdot 5} = 2^{25} \).
2. Шаг 2: Теперь числитель выглядит так: \( 2^3 \cdot 2^{25} \). Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 2^3 \cdot 2^{25} = 2^{3+25} = 2^{28} \).
3. Шаг 3: Теперь вся дробь выглядит так: \( \frac{2^{28}}{2^{16}} \). Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( \frac{2^{28}}{2^{16}} = 2^{28-16} = 2^{12} \).
4. Шаг 4: Вычислим значение \( 2^{12} \): \( 2^{12} = 4096 \).

Ответ: \( 4096 \)