4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 4x + 8, x = 0, x = 2, y = 0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 - 4x + 8 \), \( a = 0 \) и \( b = 2 \).

Сначала проверим, находится ли график функции \( y = x^2 - 4x + 8 \) выше оси \( Ox \) на отрезке \( [0, 2] \). Найдем дискриминант квадратного трёхчлена: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положительный (равен 1), парабола \( y = x^2 - 4x + 8 \) направлена ветвями вверх и не пересекает ось \( Ox \), то есть \( y > 0 \) для всех \( x \).

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 8) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (x^2 - 4x + 8) dx = \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 8x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 8x \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 8x \right]_{0}^{2} \]

Подставим верхний предел \( x = 2 \):

\[ \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 8(2) = \frac{8}{3} - 2(4) + 16 = \frac{8}{3} - 8 + 16 = \frac{8}{3} + 8 \]

Подставим нижний предел \( x = 0 \):

\[ \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 8(0) = 0 \]

Вычислим площадь:

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: \( \frac{32}{3} \).