3. Вычислите интеграл \( \int_{1}^{2} \frac{3x^2 - x^3}{x^2} dx \)

Решение:

Сначала упростим подынтегральную функцию:

\[ \frac{3x^2 - x^3}{x^2} = \frac{3x^2}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} = 3 - x \]

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{1}^{2} (3 - x) dx \]

Первообразная функции \( 3 - x \) равна \( 3x - \frac{x^2}{2} \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left( 3(2) - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 3(1) - \frac{1^2}{2} \right) \]

Рассчитаем значения:

\[ \left( 6 - \frac{4}{2} \right) - \left( 3 - \frac{1}{2} \right) \]
\[ (6 - 2) - (3 - 0.5) \]
\[ 4 - 2.5 = 1.5 \]

Ответ: \( 1.5 \).