№4. На рисунке прямая BC касается окружности с центром О в точке В. Найдите угол АОВ, если угол АВС равен 63°.

Решение:

Так как BC — касательная к окружности, а OB — радиус, проведенный в точку касания, то \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC = 63^{\circ} \) дан по условию.

Угол \( \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC \)

\( \angle OBA = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). OA и OB — радиусы окружности, поэтому \( \triangle AOB \) — равнобедренный, и \( \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \)

Ответ: 126°.