4. На рисунке АК = 6 см, КВ = 3 см, DK больше КС на 7 см. Найдите длину хорды CD.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. Хорды AB и CD пересекаются в точке K.
3. AK * KB = CK * KD.
4. Из условия АК = 6 см, КВ = 3 см.
5. AK * KB = 6 * 3 = 18 см².
6. Пусть КС = x см. Тогда DK = x + 7 см.
7. CK * KD = x * (x + 7).
8. Приравниваем произведения: 18 = x * (x + 7).
9. x² + 7x - 18 = 0.
10. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = 7² - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121.
11. \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2} \) = \( \frac{-7 + 11}{2} \) = \( \frac{4}{2} \) = 2.
12. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2} \) = \( \frac{-7 - 11}{2} \) = \( \frac{-18}{2} \) = -9.
13. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то x = 2 см.
14. Значит, КС = 2 см.
15. DK = x + 7 = 2 + 7 = 9 см.
16. Длина хорды CD = КС + DK = 2 + 9 = 11 см.

Ответ: CD = 11 см.