4. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 57см и ВС = 12см. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Дано:

• Точка С на отрезке АВ.
• \[ AC = 57 \text{ см} \]
• \[ BC = 12 \text{ см} \]
• Окружность с центром А проходит через С.

Найти: Длину отрезка касательной из точки В к окружности.

Решение:

Сначала найдем длину отрезка АВ:

\[ AB = AC + BC = 57 \text{ см} + 12 \text{ см} = 69 \text{ см} \]

Окружность имеет центр в точке А и проходит через точку С. Следовательно, радиус окружности равен длине отрезка АС.

Радиус окружности ̆r̆ = АС = 57 см.

Пусть ВТ — отрезок касательной, проведенной из точки В к окружности, где Т — точка касания.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ΔАТВ — прямоугольный треугольник с прямым углом ∠ АТВ.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза АВ = 69 см.
• Катет АТ = радиус окружности = 57 см.
• Катет ВТ — это искомая длина касательной.

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AT^2 + BT^2 \]

\[ BT^2 = AB^2 - AT^2 \]

\[ BT^2 = 69^2 - 57^2 \]

\[ BT^2 = 4761 - 3249 \]

\[ BT^2 = 1512 \]

\[ BT = \sqrt{1512} \]

Упростим корень:

\[ BT = \sqrt{324 \times 4.66...} \]

\[ BT = \sqrt{144 \times 10.5} \]

\[ BT = \sqrt{36 \times 42} = 6\sqrt{42} \text{ см} \]

Ответ: 6√42 см