4. MK — наклонная, AK — её проекция на плоскость α, прямая BK = 8, MB = 17, AK ⊥ BK. Найдите длину MA.

Решение:

По условию BK ⊥ MB и BK ⊥ AK (так как AK — проекция наклонной MK на плоскость α, то BK перпендикулярна плоскости α).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBK. Гипотенуза MB = 17, катет BK = 8. Найдём второй катет MK:

MK² = MB² - BK² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225.

MK = \( \sqrt{225} = 15 \).

AK — проекция MK на плоскость α. Треугольник AKM — прямоугольный (так как AK ⊥ MK).

В прямоугольном треугольнике AKM:

AM² = AK² + MK².

Уточнение условия: AK — проекция MK на плоскость α. Это означает, что AK ⊥ MK. Значит, треугольник AKM — прямоугольный с прямым углом при A.

Пересмотр условия: BK ⊥ MB, BK ⊥ AK. Это означает, что BK перпендикулярна плоскости, в которой лежат A, M, K.

AK — проекция MK на плоскость α. Это означает, что AK ⊥ MK, и M лежит на плоскости α.

Исходя из рисунка:

BK = 8, MB = 17, AK = 9, AK ⊥ BK. Найти MA.

Из рисунка следует, что BK ⊥ плоскости α. Значит, BK ⊥ AK и BK ⊥ MK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBK. MB = 17 (гипотенуза), BK = 8 (катет). MK² = MB² - BK² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225. MK = 15.

AK — проекция MK на плоскость α. Значит, AK ⊥ MK.

Треугольник AKM — прямоугольный с прямым углом при A.

AK = 9, MK = 15.

MA² = MK² - AK² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144.

MA = \( \sqrt{144} = 12 \).

Ответ: 12.