4. log_8(2x-4) + log_8(x-2) = 1

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2x - 4 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > 4 \) \( \Rightarrow x > 2 \)
• \( x - 2 > 0 \) \( \Rightarrow x > 2 \)
• Объединяя условия, получаем: \( x > 2 \).
2. Используем свойство логарифмов: \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \).
3. \( \log_8((2x-4)(x-2)) = 1 \)
4. \( \log_8(2(x-2)(x-2)) = 1 \)
5. \( \log_8(2(x-2)^2) = 1 \)
6. По определению логарифма: \( 2(x-2)^2 = 8^1 \)
7. \( 2(x-2)^2 = 8 \)
8. \( (x-2)^2 = 4 \)
9. Извлечём квадратный корень: \( x-2 = \pm \sqrt{4} \)
10. \( x-2 = \pm 2 \)
11. Разделим на два случая:
• \( x - 2 = 2 \) \( \Rightarrow x = 4 \)
• \( x - 2 = -2 \) \( \Rightarrow x = 0 \)
12. Проверим корни по ОДЗ \( x > 2 \).
• \( x=4 \) удовлетворяет ОДЗ.
• \( x=0 \) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = 4 \).