3. log_2(2x-2) + log_2(4-x) = 2

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2x - 2 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > 2 \) \( \Rightarrow x > 1 \)
• \( 4 - x > 0 \) \( \Rightarrow x < 4 \)
• Объединяя условия, получаем: \( 1 < x < 4 \).
2. Используем свойство логарифмов: \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \).
3. \( \log_2((2x-2)(4-x)) = 2 \)
4. \( \log_2(8x - 2x^2 - 8 + 2x) = 2 \)
5. \( \log_2(-2x^2 + 10x - 8) = 2 \)
6. По определению логарифма: \( -2x^2 + 10x - 8 = 2^2 \)
7. \( -2x^2 + 10x - 8 = 4 \)
8. \( -2x^2 + 10x - 12 = 0 \)
9. Разделим на -2: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
11. Найдём корни: \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \).
12. Оба корня \( x=2 \) и \( x=3 \) принадлежат ОДЗ \( 1 < x < 4 \).

Ответ: \( x = 2 \), \( x = 3 \).