4* Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30′?

Решение:

Угол \( 67^\circ 30' \) можно получить, разделив пополам угол \( 135^\circ \).

Построение:

1. Строим развернутый угол (180°): Проведите прямую, отметьте на ней точку O — вершину угла.
2. Строим прямой угол (90°): Из точки O проведите полуокружность. Из точек пересечения полуокружности с прямой (A и B) проведите дуги с одинаковым радиусом, пересекающиеся в точке C. Соедините O и C. \( \angle AOC = 90^\circ \).
3. Строим угол 135°: К углу \( 90^\circ \) (например, \( \angle AOC \)) пристроим еще 45°. Для этого разделим пополам прямой угол \( \angle AOC \).
• Из точки A проведите дугу.
• Из точки O проведите дугу тем же радиусом.
• Из точки пересечения дуг проведите луч OD. \( \angle AOD = 45^\circ \).
• Тогда \( \angle DOC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
• Угол \( \angle COB = 90^\circ \) (так как \( \angle AOB \) — развернутый).
• Угол \( \angle DOB = \angle DOC + \angle COB = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \).
4. Делим угол 135° пополам:
• Из вершины O проведите дугу, пересекающую стороны углов \( \angle DOB \) в точках E и F.
• Из точек E и F проведите дуги с одинаковым радиусом, пересекающиеся в точке G.
• Проведите луч OG. Этот луч будет биссектрисой \( \angle DOB \).
• Следовательно, \( \angle DOG = \angle FOG = \frac{135^\circ}{2} = 67^\circ 30' \).

Чертеж:

Ответ: Угол в 67°30′ построен путем деления пополам угла 135°.