1. Отрезки МЕ и РК пересекаются в точке D, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что: а) треугольники PDE и KDM равны; б) ∠ PED = ∠ KMD.

Решение:

Дано: Отрезки ME и PK пересекаются в точке D. D — середина ME и D — середина PK.

Доказать:

а) \( \triangle PDE = \triangle KDM \)

б) \( \angle PED = \angle KMD \)

Доказательство:

1. По условию, D — середина ME, значит, \( PD = DK \).
2. По условию, D — середина PK, значит, \( ED = DM \).
3. \( \angle PDE \) и \( \angle KDM \) — вертикальные углы. Вертикальные углы равны, следовательно, \( \angle PDE = \angle KDM \).
4. По двум сторонам и углу между ними (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle PDE = \triangle KDM \) (по первому признаку равенства треугольников: \( PD=DK \), \( ED=DM \), \( \angle PDE = \angle KDM \)).
5. Так как \( \triangle PDE = \triangle KDM \), то соответствующие углы этих треугольников равны. Следовательно, \( \angle PED = \angle KMD \).

Ответ: Доказано.