4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Задание 4. Тригонометрия и медиана в прямоугольном треугольнике

Дано:

• \( \triangle EPM \) — прямоугольный.
• \( \angle EPM = 90^\circ \).
• \( \angle MEP = 30^\circ \).
• \( ME = 10 \) см.

Найти:

а) Длину отрезка \( EP \).

б) Длину медианы \( PD \).

Решение:

а) Нахождение длины отрезка ЕР

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle EPM \) мы знаем гипотенузу \( ME = 10 \) см и угол \( \angle MEP = 30^\circ \).
2. Сторона \( EP \) является прилежащим катетом к углу \( \angle MEP \).
3. Используем определение косинуса: \( \cos(\angle MEP) = \frac{EP}{ME} \).
4. Выразим \( EP \): \( EP = ME \cdot \cos(\angle MEP) \).
5. Подставим значения: \( EP = 10 \cdot \cos(30^\circ) \).
6. Значение \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
7. \( EP = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
8. Приближенное значение \( \sqrt{3} \) равно \( 1.732 \).
9. \( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.
10. Число \( 8.66 \) заключено между целыми числами 8 и 9.

б) Нахождение длины медианы PD

1. Для начала найдем длину второго катета \( PM \). Используем определение синуса: \( \sin(\angle MEP) = \frac{PM}{ME} \).
2. \( PM = ME \cdot \sin(\angle MEP) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.
3. Теперь у нас есть \( \triangle EPM \) с катетами \( EP = 5\sqrt{3} \) см и \( PM = 5 \) см.
4. \( PD \) — это медиана, проведенная к гипотенузе \( ME \).
5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
6. Длина гипотенузы \( ME = 10 \) см.
7. Следовательно, длина медианы \( PD = \frac{1}{2} \cdot ME = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.

Ответ:

а) Длина отрезка \( EP \) заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Длина медианы \( PD \) равна 5 см.