4. Дана система уравнений: y = -5x, y = mx, y = mx - 3. Установить, при каких значениях m система: 1) не имеет решений; 2) имеет единственное решение.

Решение:

Эта задача связана с анализом систем линейных уравнений с параметром m. Графически это означает, что мы ищем, при каких значениях m прямые пересекаются, не пересекаются или совпадают.

У нас есть три уравнения, но они представляют собой две системы:

• Система А:
  \[ \begin{cases} y = -5x \\ y = mx \end{cases} \]
• Система Б:
  \[ \begin{cases} y = mx \\ y = mx - 3 \end{cases} \]

Рассмотрим Систему А:

\[ \begin{cases} y = -5x \\ y = mx \end{cases} \]

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части:

\[ -5x = mx \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ mx + 5x = 0 \]

Вынесем x за скобки:

\[ x(m + 5) = 0 \]

Это уравнение имеет два случая:

• Если (m + 5) ≠ 0, то есть m ≠ -5:
  Тогда x = 0. Подставив x = 0 в любое из уравнений, получим y = 0. Следовательно, система имеет единственное решение (0; 0).
• Если (m + 5) = 0, то есть m = -5:
  Тогда уравнение становится x(0) = 0, что верно для любого x. В этом случае оба уравнения системы эквивалентны (y = -5x), и прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений (все точки прямой y = -5x).

Рассмотрим Систему Б:

\[ \begin{cases} y = mx \\ y = mx - 3 \end{cases} \]

Здесь мы имеем два уравнения с одинаковым угловым коэффициентом m. Графически это означает, что прямые параллельны.

• Если m ≠ m (что невозможно), то прямые параллельны и не пересекаются.
• Если m = m, то прямые имеют одинаковый наклон. Однако, у них разные свободные члены (-3 и 0).

Следовательно, прямые y = mx и y = mx - 3 всегда параллельны и не совпадают (так как -3 ≠ 0). Параллельные прямые не имеют точек пересечения.

Объединим результаты для исходной системы:

Исходная задача, скорее всего, подразумевала, что система состоит из трех уравнений, и нужно найти значения m, при которых система имеет решения или не имеет решений. В такой постановке, все три прямые должны пересекаться в одной точке, либо две из них должны совпадать.

1) Система не имеет решений:

Это произойдет, если прямые y = mx и y = mx - 3 не пересекаются, что верно при любом m. Однако, если нужно, чтобы все три прямые пересекались в одной точке, то система не будет иметь решений, если точка пересечения первых двух уравнений (0; 0) не лежит на прямой y = mx - 3. Подставим (0;0) в y = mx - 3:
0 = m(0) - 3
0 = -3 (неверно).
Следовательно, система из трех уравнений не будет иметь решений, если m ≠ -5 (т.е. первые две прямые пересекаются в точке (0;0), которая не лежит на третьей прямой).
Если же m = -5, то первые две прямые совпадают (y = -5x), а третья прямая (y = -5x - 3) параллельна им. В этом случае система также не имеет решений.

Таким образом, система не имеет решений при любом значении m.

2) Система имеет единственное решение:

Единственное решение возможно только в Системе А, когда m ≠ -5. В этом случае решением является точка (0; 0).

Итоговый ответ:

1) Система не имеет решений при любом значении m.

2) Система имеет единственное решение, когда m ≠ -5 (решение (0; 0) для первых двух уравнений).