4. (1 балл) Найдите корень уравнения sin (x + π/4) = 1/2.

Решение:

Решим уравнение \( \sin{\left( x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{2} \).

Общее решение для уравнения \( \sin{y} = a \) имеет вид:

\[ y = (-1)^n \arcsin{a} + \pi n \], где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( y = x + \frac{\pi}{4} \) и \( a = \frac{1}{2} \). Знаем, что \( \arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6} \).

Тогда:

\[ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \]\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим два случая:

1. При \( n \) — четном, \( n = 2k \), \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi (2k) \]\[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]\[ x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \]\[ x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \]

2. При \( n \) — нечетном, \( n = 2k+1 \), \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) \]\[ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi \]\[ x = \frac{-2\pi - 3\pi}{12} + \pi + 2\pi k \]\[ x = -\frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi k \]\[ x = \frac{-5\pi + 12\pi}{12} + 2\pi k \]\[ x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).