10. (2 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - 2x + 2, прямыми a=1, в=2 и осью Ох.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью Ох и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \), \( a = 1 \) и \( b = 2 \).

Найдем первообразную для функции \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (x^2 - 2x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = F(b) - F(a) = F(2) - F(1) \]\[ F(2) = \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2(2) = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} \]\[ F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2(1) = \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \]\[ S = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: 4/3