4. (1 балл). Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найдите угол между высотой пирамиды и ребром SB, если высота пирамиды равна 2√3, а сторона основания пирамиды равна 6. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть SO — высота пирамиды, где O — центр основания (точка пересечения медиан равностороннего треугольника ABC). Треугольник SOB — прямоугольный с прямым углом O. Нам нужно найти угол SBO.

Высота пирамиды \(SO = 2\sqrt{3}\). Сторона основания \(a = 6\).

В равностороннем треугольнике ABC высота (или медиана) \(h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

Точка O делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, \(BO = \frac{2}{3} h_a = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. У нас есть катеты SO = \(2\sqrt{3}\) и BO = \(2\sqrt{3}\).

Так как катеты равны, то треугольник SOB — равнобедренный прямоугольный. Углы при гипотенузе равны \(\frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ\).

Искомый угол между высотой пирамиды (SO) и ребром SB — это угол SBO.

Ответ: 45