379 Пару игральных кубиков бросают 180 раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, в которых: а) сумма выпавших очков равна 12; б) выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1.

Решение:

Общее число исходов при броске пары кубиков равно \( 6 \times 6 = 36 \).

а) Сумма выпавших очков равна 12.

Единственный исход, при котором сумма равна 12, — это (6, 6).

Вероятность такого исхода \( P(\text{сумма 12}) = \frac{1}{36} \).

Количество бросков \( n = 180 \).

Математическое ожидание числа бросков, в которых сумма равна 12, равно \( E(X) = n \cdot P \).

\[ E(X) = 180 \cdot \frac{1}{36} = 5 \]

б) Выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1.

Рассмотрим исходы, где числа отличаются не более чем на 1:

• Разница равна 0 (одинаковые числа): (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) — 6 исходов.
• Разница равна 1: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) — 10 исходов.

Всего благоприятных исходов: \( 6 + 10 = 16 \).

Вероятность такого исхода \( P(\text{разница} \le 1) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \).

Количество бросков \( n = 180 \).

Математическое ожидание числа бросков, в которых числа отличаются не более чем на 1, равно \( E(X) = n \cdot P \).

\[ E(X) = 180 \cdot \frac{4}{9} = 20 \cdot 4 = 80 \]

Ответ: а) 5; б) 80.