36.12. Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных: a) \( \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 2x} = x^2 + 2x \); б) \( \frac{6x^5 - 24x^4}{3x^5 - 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2} \); в) \( \frac{2a^3 - 12a^2 + 18a}{4a^2} = \frac{a - 3}{2a^2} \); г) \( \frac{a^6 b^2 - 27a^3 b^2}{2a^3 b^3 - 6a^2 b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b} \).

Решение:

a) \( \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 2x} = x^2 + 2x \)

1. Допустимые значения: Знаменатель \( x^2 - 2x \) не должен быть равен нулю. \( x(x - 2) \neq 0 \), значит \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).
2. Преобразуем левую часть: \( \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 2x} = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x(x - 2)} = \frac{x^2(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = x(x + 2) = x^2 + 2x \).
3. Сравнение: Левая часть равна правой.

Вывод: Равенство является тождеством при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).

б) \( \frac{6x^5 - 24x^4}{3x^5 - 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2} \)

1. Допустимые значения: Знаменатели \( 3x^5 - 12x^4 \) и \( 2x^2 \) не должны быть равны нулю. \( 3x^4(x - 4) \neq 0 \), значит \( x \neq 0 \) и \( x \neq 4 \).
2. Преобразуем левую часть: \( \frac{6x^5 - 24x^4}{3x^5 - 12x^4} = \frac{6x^4(x - 4)}{3x^4(x - 4)} = 2 \).
3. Сравнение: \( 2 \neq \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2} \) (если \( x^2 + 2x + 4 \neq 4x^2 \), что верно для большинства \( x \)).

Вывод: Равенство не является тождеством.

в) \( \frac{2a^3 - 12a^2 + 18a}{4a^2} = \frac{a - 3}{2a^2} \)

1. Допустимые значения: Знаменатель \( 4a^2 \) и \( 2a^2 \) не должны быть равны нулю, значит \( a \neq 0 \).
2. Преобразуем левую часть: \( \frac{2a^3 - 12a^2 + 18a}{4a^2} = \frac{2a(a^2 - 6a + 9)}{4a^2} = \frac{2a(a - 3)^2}{4a^2} = \frac{(a - 3)^2}{2a} \).
3. Сравнение: \( \frac{(a - 3)^2}{2a} \neq \frac{a - 3}{2a^2} \) (так как \( (a - 3)^2 \neq a - 3 \) для \( a \neq 3 \)).

Вывод: Равенство не является тождеством.

г) \( \frac{a^6 b^2 - 27a^3 b^2}{2a^3 b^3 - 6a^2 b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b} \)

1. Допустимые значения: Знаменатели \( 2a^3 b^3 - 6a^2 b^3 \) и \( 2b \) не должны быть равны нулю. \( 2a^2 b^3 (a - 3) \neq 0 \), значит \( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \) и \( a \neq 3 \).
2. Преобразуем левую часть: \( \frac{a^6 b^2 - 27a^3 b^2}{2a^3 b^3 - 6a^2 b^3} = \frac{a^3 b^2 (a^3 - 27)}{2a^2 b^3 (a - 3)} = \frac{a b^2 (a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{2a^2 b^3 (a - 3)} = \frac{a^2 + 3a + 9}{2ab} \).
3. Сравнение: \( \frac{a^2 + 3a + 9}{2ab} \neq \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b} \).

Вывод: Равенство не является тождеством.

Ответ: а) — тождество при \( x \neq 0, x \neq 2 \); б), в), г) — не тождества.