36.10. Докажите тождество: a) (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²); б) (a + b)² - (a - b)² = 4ab; в) a² + b²= (a + b)² - 2ab; г) (a + b)² - 2b(a + b) = a² – b².

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные члены в левой части каждого равенства, чтобы получить правую часть.

1. a) \( (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) \). Левая часть равна правой.
2. б) \( (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab \). Левая часть равна правой.
3. в) Правая часть: \( (a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2 \). Левая часть равна правой.
4. г) \( (a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 = a^2 - b^2 \). Левая часть равна правой.

Ответ: Тождества доказаны.