35. Среди восьмиклассников некоторые участвовали в олимпиаде по математике, а некоторые — по обществознанию. Все те школьники, которые участвовали в олимпиаде по обществознанию, не участвовали в олимпиаде по математике. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

Решение:

Обозначим:

• М — множество восьмиклассников, участвовавших в олимпиаде по математике.
• О — множество восьмиклассников, участвовавших в олимпиаде по обществознанию.

Из условия известно:

• Некоторые восьмиклассники участвовали в олимпиаде по математике (М ≠ ∅).
• Некоторые восьмиклассники участвовали в олимпиаде по обществознанию (О ≠ ∅).
• Все, кто участвовал в олимпиаде по обществознанию, не участвовали в олимпиаде по математике. Это означает, что множества М и О не пересекаются, то есть M ∩ O = ∅.

Проверим утверждения:

1. Восьмиклассник, который участвовал в олимпиаде по математике, не участвовал в олимпиаде по обществознанию. — Следует. Так как M ∩ O = ∅, любой элемент из М не может быть в О.
2. Все восьмиклассники участвовали в олимпиаде либо по математике, либо по обществознанию. — Не следует. Из условия известно, что «некоторые» участвовали, но это не означает, что ВСЕ участвовали. Возможно, есть восьмиклассники, которые не участвовали ни в одной из олимпиад.
3. Среди тех восьмиклассников, которые участвовали в олимпиаде по математике, есть хотя бы один участник, который участвовал в олимпиаде по обществознанию. — Не следует. Наоборот, из условия M ∩ O = ∅ следует, что таких участников нет.
4. Нет ни одного восьмиклассника, который участвовал и в олимпиаде по математике, и в олимпиаде по обществознанию. — Следует. Это прямое следствие условия M ∩ O = ∅.

Ответ: 1, 4