35. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение:

Обозначим вероятность уничтожения цели при первом выстреле как \( P_1 = 0.4 \).

Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена первым выстрелом: \( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле: \( P_k = 0.6 \) (для \( k > 1 \)).

Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена при \( k \)-м последующем выстреле: \( Q_k = 1 - P_k = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Нам нужно найти наименьшее количество выстрелов \( N \), чтобы вероятность уничтожения цели была не менее \( 0.98 \).

Рассмотрим вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \( N \) выстрелов. Это произойдет, если она не будет уничтожена первым выстрелом (вероятность \( Q_1 \)), И при каждом из последующих \( N-1 \) выстрелов (вероятность \( Q_k \)).

Вероятность неуничтожения после \( N \) выстрелов: \( P(\text{неуничтожена после } N \text{ выстрелов}) = Q_1 \times (Q_k)^{N-1} \)

\[ P(\text{неуничтожена после } N \text{ выстрелов}) = 0.6 \times (0.4)^{N-1} \]

Вероятность уничтожения цели после \( N \) выстрелов будет: \( P(\text{уничтожена после } N \text{ выстрелов}) = 1 - P(\text{неуничтожена после } N \text{ выстрелов}) \).

Нам нужно, чтобы \( P(\text{уничтожена после } N \text{ выстрелов}) \ge 0.98 \).

Это эквивалентно \( 1 - 0.6 \times (0.4)^{N-1} \ge 0.98 \).

\( 0.6 \times (0.4)^{N-1} \le 1 - 0.98 \)

\( 0.6 \times (0.4)^{N-1} \le 0.02 \)

\[ (0.4)^{N-1} \le \frac{0.02}{0.6} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \]

Теперь будем подставлять значения \( N \) (начиная с \( N=1 \)):

• Если \( N = 1 \): \( (0.4)^{1-1} = (0.4)^0 = 1 \). \( 1 \le \frac{1}{30} \) — ложно.
• Если \( N = 2 \): \( (0.4)^{2-1} = 0.4 \). \( 0.4 \le \frac{1}{30} \) — ложно (\( 0.4 = \frac{12}{30} \)).
• Если \( N = 3 \): \( (0.4)^{3-1} = (0.4)^2 = 0.16 \). \( 0.16 \le \frac{1}{30} \) — ложно (\( 0.16 = \frac{4.8}{30} \)).
• Если \( N = 4 \): \( (0.4)^{4-1} = (0.4)^3 = 0.064 \). \( 0.064 \le \frac{1}{30} \) — ложно (\( 0.064 = \frac{1.92}{30} \)).
• Если \( N = 5 \): \( (0.4)^{5-1} = (0.4)^4 = 0.0256 \). \( 0.0256 \le \frac{1}{30} \) — верно, так как \( 0.0256 \approx \frac{0.768}{30} \).

Проверим вероятность для \( N = 5 \):

\( P(\text{уничтожена после 5 выстрелов}) = 1 - 0.6 \times (0.4)^{5-1} = 1 - 0.6 \times (0.4)^4 = 1 - 0.6 \times 0.0256 = 1 - 0.01536 = 0.98464 \).

\( 0.98464 \ge 0.98 \), условие выполнено.

Наименьшее количество выстрелов — 5.

Ответ: 5.