339 Докажите, что если АВ — диаметр окружности и С — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой АВ, то угол АСВ острый.

Решение:

Пусть AB — диаметр окружности с центром O. Точка C лежит вне круга, ограниченного окружностью, и не лежит на прямой AB.

Метод 1: Сравнение с точкой на окружности.

Рассмотрим точку C' на самой окружности. Угол ∠AC'B равен 90 градусам (угол, опирающийся на диаметр).

Если точка C лежит вне окружности, то она находится "дальше" от диаметра AB, чем точка C'.

Представьте, что вы двигаете точку C от окружности наружу, сохраняя точки A и B фиксированными. Угол ∠ACB будет уменьшаться. Если точка C' на окружности дает прямой угол (90°), то точка C, находящаяся дальше от AB, будет иметь угол ∠ACB < 90°, то есть острый.

Метод 2: Использование расстояний (теорема косинусов).

В треугольнике ABC, по теореме косинусов:

AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(∠ACB).

Поскольку AB — диаметр, AB = 2R.

4R² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(∠ACB).

Мы хотим доказать, что ∠ACB < 90°, что эквивалентно cos(∠ACB) > 0.

Следовательно, нам нужно показать, что AC² + BC² > 4R².

Рассмотрим окружность с центром O и диаметром AB.

Пусть C=(x, y). Так как C лежит вне окружности, x² + y² > R².

A=(-R, 0), B=(R, 0).

Вектор CA = A - C = (-R - x, -y).

Вектор CB = B - C = (R - x, -y).

Скалярное произведение CA · CB = (-R - x)(R - x) + (-y)(-y) = -(R² - x²) + y² = x² + y² - R².

Угол ACB является острым, если скалярное произведение CA · CB > 0.

x² + y² - R² > 0.

x² + y² > R².

Это неравенство точно соответствует условию, что точка C лежит вне окружности.

Вывод: Скалярное произведение векторов CA и CB положительно, что означает, что угол между ними (угол ACB) острый.

Ответ: Если AB — диаметр окружности, и точка C лежит вне этой окружности, то скалярное произведение векторов CA и CB равно x² + y² - R², где (x, y) — координаты C, а R — радиус окружности. Поскольку C лежит вне окружности, x² + y² > R², следовательно, x² + y² - R² > 0. Положительное скалярное произведение означает, что угол ACB является острым.