31.) Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°. Найдите большую и меньшую стороны треугольника, если их сумма равна 18 см.

Решение:

1. Внешний угол при вершине прямого угла равен 120°. Это невозможно, так как внешний угол при прямом угле равен 90°.

2. Предположим, что внешний угол при одной из острых вершин равен 120°. Тогда внутренний угол равен \( 180° - 120° = 60° \).

3. Углы прямоугольного треугольника: 90°, 60°, 30°.

4. Меньшая сторона лежит против угла 30°, большая — против угла 60°. Обозначим меньшую сторону \( a \), большую \( b \), гипотенузу \( c \).

5. По условию, \( b + c = 18 \) см (наибольшая сторона - гипотенуза, поэтому сумма большей стороны и гипотенузы, а не большей и меньшей стороны, была бы 18 см. Если же суммируются большая и меньшая стороны, то это катеты).

Вариант 1: Сумма катетов равна 18 см.

\( b = c \sin 60° = c \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( a = c \sin 30° = \frac{c}{2} \).

\( b + a = c \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{c}{2} = c \frac{\sqrt{3}+1}{2} = 18 \).

\( c = \frac{36}{\sqrt{3}+1} = \frac{36(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 18(\sqrt{3}-1) \) см.

\( b = \frac{c}{2} \sqrt{3} = 9(\sqrt{3}-1)\sqrt{3} = 9(3-\sqrt{3}) \) см.

\( a = \frac{c}{2} = 9(\sqrt{3}-1) \) см.

Вариант 2: Сумма большей стороны (катета) и гипотенузы равна 18 см.

\( b + c = 18 \) см.

\( b = c \cos 30° = c \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( a = c \sin 30° = \frac{c}{2} \).

\( c \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 18 \).

\( c \frac{\sqrt{3}+2}{2} = 18 \).

\( c = \frac{36}{\sqrt{3}+2} = \frac{36(2-\sqrt{3})}{4-3} = 36(2-\sqrt{3}) \) см.

\( b = c \frac{\sqrt{3}}{2} = 36(2-\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} = 18(2\sqrt{3}-3) \) см.

\( a = \frac{c}{2} = 18(2-\sqrt{3}) \) см.

Уточнение: В задаче, скорее всего, имелась в виду сумма катетов.

Если сумма катетов равна 18 см:

Меньшая сторона: \( a = 9(\sqrt{3}-1) \) см.

Большая сторона: \( b = 9(3-\sqrt{3}) \) см.

Ответ: Меньшая сторона \( 9(\sqrt{3}-1) \) см, большая сторона \( 9(3-\sqrt{3}) \) см.