30. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BH = 12, tgA = 2/3. Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), CH — высота.

Дано:

• \( BH = 12 \)
• \( \tan A = \frac{2}{3} \)

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники ACH и CBH.

Из подобия \( \triangle ACH \sim \triangle CBH \) следует:

\( \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \)

Это означает, что \( CH^2 = AH \cdot BH \).

Также, из подобия \( \triangle ABC \sim \triangle ACH \), имеем:

\( \tan A = \frac{CH}{AH} \)

И из подобия \( \triangle ABC \sim \triangle CBH \), имеем:

\( \tan B = \frac{CH}{BH} \)

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \), поэтому \( \tan B = \frac{1}{\tan A} \).

\( \tan B = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} \)

Теперь используем соотношение \( \tan B = \frac{CH}{BH} \):

\( \frac{3}{2} = \frac{CH}{12} \)

Найдём CH:

\( CH = \frac{3}{2} \cdot 12 = 3 \cdot 6 = 18 \)

Теперь, зная CH и BH, используем соотношение \( CH^2 = AH \cdot BH \) для нахождения AH:

\( 18^2 = AH \cdot 12 \)

\( 324 = AH \cdot 12 \)

\( AH = \frac{324}{12} \)

\( AH = 27 \)

Ответ: \( AH = 27 \).