28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота СН равна 8, ВН = 4. Найдите tgA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC проведён отрезок BH, который является высотой.

Нам дано:

• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( CH = 8 \)
• \( BH = 4 \)

В прямоугольном треугольнике CHB, по теореме Пифагора:

\( CB^2 = CH^2 + BH^2 \)

\( CB^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80 \)

\( CB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

\( \tan A = \frac{CB}{AC} \)

Нам нужно найти AC. Мы знаем, что \( \tan A = \frac{CH}{AH} \) и \( \tan A = \frac{BH}{CH} \) в подобных треугольниках.

Рассмотрим подобные треугольники ACH и CBH.

Из подобия \( \triangle ACH \sim \triangle CBH \), имеем:

\( \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \)

\( CH^2 = AH \cdot BH \)

\( 8^2 = AH \cdot 4 \)

\( 64 = 4 \cdot AH \)

\( AH = \frac{64}{4} = 16 \)

Теперь мы можем найти \( \tan A \) из треугольника ACH:

\( \tan A = \frac{CH}{AH} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \tan A = \frac{1}{2} \).