29. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AH = 27, tgA = 2/3. Найдите BH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), CH — высота.

Дано:

• \( AH = 27 \)
• \( \tan A = \frac{2}{3} \)

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( \tan A = \frac{CH}{AH} \)

Подставляем известные значения:

\( \frac{2}{3} = \frac{CH}{27} \)

Найдём CH:

\( CH = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18 \)

Теперь рассмотрим подобные прямоугольные треугольники ACH и CBH.

Из подобия \( \triangle ACH \sim \triangle CBH \) следует:

\( \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \)

Подставляем известные значения CH и AH:

\( \frac{18}{BH} = \frac{27}{18} \)

Решаем уравнение для BH:

\( 18 \cdot 18 = 27 \cdot BH \)

\( 324 = 27 \cdot BH \)

\( BH = \frac{324}{27} \)

\( BH = 12 \)

Ответ: \( BH = 12 \).