3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть высота пирамиды H = √6 см, угол наклона бокового ребра к плоскости основания α = 60°.

а) В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания (R) и боковым ребром (L), имеем: cos(α) = R / L. Так как основание — квадрат, то R = a√2 / 2, где 'a' — сторона квадрата. Также, tan(α) = H / R. Отсюда R = H / tan(α) = √6 / tan(60°) = √6 / √3 = √2 см.

Теперь найдем боковое ребро L: L = R / cos(α) = √2 / cos(60°) = √2 / (1/2) = 2√2 см.

б) Найдем сторону основания 'a': R = a√2 / 2 => √2 = a√2 / 2 => a = 2 см.

Апофема (h_a) пирамиды: h_a = √(L² - (a/2)²) = √((2√2)² - (2/2)²) = √(8 - 1) = √7 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды: Sбок = 1/2 * Pосн * h_a = 1/2 * (4 * a) * h_a = 1/2 * (4 * 2) * √7 = 4√7 см².

Ответ: а) 2√2 см; б) 4√7 см².