3). Вычислите: a) \( \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}} \); б) \( \frac{2^5 \cdot 8}{4^3} \).

Решение:

1. а) Вычисление дроби со степенями:
   Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \( \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}} = \frac{5^{8+7}}{5^{12}} = \frac{5^{15}}{5^{12}} = 5^{15-12} = 5^3 = 125 \)
2. б) Вычисление дроби с разными основаниями степеней:
   Представим основания степеней как степени числа 2: \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \).
   \( \frac{2^5 \cdot 8}{4^3} = \frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^3} = \frac{2^{5+3}}{2^{2 \cdot 3}} = \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4 \)

Ответ: а) 125; б) 4.