3. Вычислите: 1) \( \frac{6P_{11}-P_{10}}{13P_9} \), 2) \( \frac{C_{7}^{4}}{A_{6}^{3}} \)

Задание 3. Вычисление выражений с P, C и A

Задание 1: Вычислить \( \frac{6P_{11}-P_{10}}{13P_9} \)

Вспомним формулы для перестановок (P):

\[ P_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]

В данном случае, у нас P с одним индексом, что обычно означает число перестановок n элементов, то есть \( P_n = n! \).

Тогда:

\( P_{11} = 11! \)

\( P_{10} = 10! \)

\( P_9 = 9! \)

Подставим в выражение:

\[ \frac{6 \cdot 11! - 10!}{13 q q 9!} \]

Вынесем общие множители:

\( 11! = 11 q 10 q 9! \)

\( 10! = 10 q 9! \)

Теперь подставим в числитель:

\[ 6 q 11! - 10! = 6 q (11 q 10 q 9!) - (10 q 9!) \]

\[ = (6 q 11 q 10 - 10) q 9! = (660 - 10) q 9! = 650 q 9! \]

Теперь подставим в дробь:

\[ \frac{650 q 9!}{13 q 9!} \]

Сократим \( 9! \):

\[ \frac{650}{13} \]

Выполним деление:

\[ \frac{650}{13} = 50 \]

Ответ к первой части: 50

Задание 2: Вычислить \( \frac{C_{7}^{4}}{A_{6}^{3}} \)

Вспомним формулы для сочетаний (C) и размещений (A):

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

\[ A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Вычислим числитель \( C_{7}^{4} \):

\[ C_{7}^{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 q 6 q 5 q 4!}{4! q (3 q 2 q 1)} = \frac{7 q 6 q 5}{3 q 2 q 1} = 7 q 5 = 35 \]

Вычислим знаменатель \( A_{6}^{3} \):

\[ A_{6}^{3} = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 q 5 q 4 q 3!}{3!} = 6 q 5 q 4 = 120 \]

Теперь вычислим дробь:

\[ \frac{C_{7}^{4}}{A_{6}^{3}} = \frac{35}{120} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

\[ \frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24} \]

Ответ ко второй части: 7/24