3. В треугольнике ABC ∠A = a > 90°, ∠B = β, высота BD равна һ. а) Найдите сторону AD и радиус R описанной окружности. б) Вычислите значение R, если а = 135°, В = 30°, h = 3см.

Решение:

3. а) Нахождение стороны AD и радиуса R описанной окружности:

В прямоугольном \( \triangle ABD \) угол \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Угол \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - \alpha \).

Найдем сторону AD:

\[ \operatorname{tg}(\angle BAD) = \frac{BD}{AD} \implies \operatorname{tg}(180^{\circ} - \alpha) = \frac{h}{AD} \]

Так как \( \operatorname{tg}(180^{\circ} - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) \), то \( -\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{h}{AD} \). Отсюда \( AD = -\frac{h}{\operatorname{tg}(\alpha)} \).

Найдем радиус R описанной окружности. По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R \), или \( \frac{AC}{\sin(\beta)} = 2R \).

В \( \triangle ABD \): \( \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB} \implies \sin(180^{\circ} - \alpha) = \frac{h}{AB} \implies \sin(\alpha) = \frac{h}{AB} \). Отсюда \( AB = \frac{h}{\sin(\alpha)} \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta \). По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} \).

\[ AC = AB \cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(180^{\circ} - \alpha - \beta)} = \frac{h}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \]

Тогда \( 2R = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{h}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{1}{\sin(\beta)} = \frac{h}{\sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)} \).

\[ R = \frac{h}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)} \]

3. б) Вычисление значения R при \( \alpha = 135^{\circ}, \beta = 30^{\circ}, h = 3 \) см:

\[ \alpha + \beta = 135^{\circ} + 30^{\circ} = 165^{\circ} \]

\[ \sin(\alpha) = \sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(165^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin(15^{\circ}) \]

Найдем \( \sin(15^{\circ}) \): \( \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

\[ R = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12}{\sqrt{12} - 2} = \frac{12}{2\sqrt{3} - 2} = \frac{6}{\sqrt{3} - 1} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[ R = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 3(\sqrt{3} + 1) \]

Ответ: а) \( AD = -\frac{h}{\operatorname{tg}(\alpha)} \), \( R = \frac{h}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)} \); б) \( R = 3(\sqrt{3} + 1) \) см.