2. Даны точки К(0; 1), М(-3; -3), N(1; -6). а) Докажите, что треугольник KMN равнобедренный и прямоугольный. б) Найдите длину медианы NL.

Решение:

2. а) Доказательство, что \( \triangle KMN \) равнобедренный и прямоугольный:

Найдем длины сторон треугольника:

\[ KM = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ MN = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-6 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-6 + 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ KN = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-6 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \]

Так как \( KM = MN = 5 \), то \( \triangle KMN \) — равнобедренный.

Проверим теорему Пифагора: \( KM^2 + MN^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \). \( KN^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 \).

Так как \( KM^2 + MN^2 = KN^2 \), то \( \triangle KMN \) — прямоугольный (угол \( \angle KMN = 90^{\circ} \).

2. б) Нахождение длины медианы NL:

Медиана \( NL \) проведена к гипотенузе \( KN \). В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

\[ NL = \frac{1}{2} KN = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \frac{1}{2} \sqrt{25 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: а) \( \triangle KMN \) равнобедренный (KM = MN) и прямоугольный (KM^2 + MN^2 = KN^2). б) \( NL = \frac{5\sqrt{2}}{2} \).