3. В студенческой группе 30 человек. Из них 15 человек знают английский язык, 10 французский. 6 немецкий, 5 английский и французский, 3 английский и немецкий, 3 французский и немецкий, 2 английский, французский и немецкий. Сколько человек в данной группе не знают ни одного языка? (Нарисовать круги Эйлера)

Задание 3. Языки в студенческой группе

Чтобы решить эту задачу, будем использовать принцип включения-исключения для трех множеств. Нам нужно найти количество студентов, которые не знают ни одного языка. Для этого сначала найдем общее количество студентов, которые знают хотя бы один язык.

• Всего студентов: \( N = 30 \)
• Английский (A): \( |A| = 15 \)
• Французский (F): \( |F| = 10 \)
• Немецкий (N): \( |N| = 6 \)
• Английский и Французский (\( A \cap F \)): \( |A \cap F| = 5 \)
• Английский и Немецкий (\( A \cap N \)): \( |A \cap N| = 3 \)
• Французский и Немецкий (\( F \cap N \)): \( |F \cap N| = 3 \)
• Английский, Французский и Немецкий (\( A \cap F \cap N \)): \( |A \cap F \cap N| = 2 \)

Формула для нахождения количества студентов, знающих хотя бы один язык:

\[ |A \cup F \cup N| = |A| + |F| + |N| - |A \cap F| - |A \cap N| - |F \cap N| + |A \cap F \cap N| \]

Подставляем значения:

\[ |A \cup F \cup N| = 15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 3 + 2 \]

\[ |A \cup F \cup N| = 31 - 11 + 2 = 20 + 2 = 22 \]

Итак, 22 студента знают хотя бы один язык. Чтобы найти количество студентов, которые не знают ни одного языка, вычтем это число из общего числа студентов:

\[ 30 - 22 = 8 \]

Ответ: 8 человек в данной группе не знают ни одного языка.

Круги Эйлера: