3) В ромбе АBCD угол А равен 60°, АВ = 6 см. Из вершины В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ и ВК соответственно. Чему равна сумма длин отрезков MD и CK?

Задание 3. Сумма отрезков в ромбе

Дано:

• Ромб ABCD.
• \( ∠ A = 60^\circ \).
• \( AB = 6 \) см.
• \( BM ⊥ AD \) (M на AD).
• \( BK ⊥ CD \) (K на CD).

Найти: \( MD + CK \).

Решение:

1. В ромбе все стороны равны: \( AB = BC = CD = AD = 6 \) см.
2. Углы ромба: \( ∠ A = ∠ C = 60^\circ \), \( ∠ B = ∠ D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ AMB \) (\( ∠ AMB = 90^\circ \)).
4. \( ∠ BAM = 60^\circ \).
5. \( ∠ ABM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
6. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: \( AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} · 6 = 3 \) см.
7. \( MD = AD - AM = 6 - 3 = 3 \) см.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ CKB \) (\( ∠ CKB = 90^\circ \)).
9. \( ∠ BCK = ∠ C = 60^\circ \).
10. \( ∠ KBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
11. Катет \( CK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} · 6 = 3 \) см.
12. Сумма длин отрезков: \( MD + CK = 3 + 3 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.