Контрольные задания
Вопрос:

2) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е- середина стороны АВ, ВАС= 50°. Чему равен угол EOD?

Фото задания: 2) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е- середина стороны АВ, ВАС= 50°. Чему равен угол EOD?Фото задания

Ответ:

Задание 2. Угол в прямоугольнике

Дано:

  • ABCD — прямоугольник.
  • \( O \) — точка пересечения диагоналей.
  • \( E \) — середина стороны \( AB \).
  • \( ∠ BAC = 50^\circ \).

Найти: \( ∠ EOD \).

Решение:

  1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).
  2. \( ∠ BAC = 50^\circ \), следовательно, \( ∠ ABC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) (так как \( ∠ ABC = 90^\circ \) в прямоугольнике).
  3. \( ∠ ABD = ∠ BAC = 50^\circ \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \)).
  4. \( ∠ ADB = ∠ CBD = 40^\circ \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BD \)).
  5. \( ∠ BOC = 180^\circ - 2 · ∠ OBC = 180^\circ - 2 · 40^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) (в равнобедренном \( △ BOC \), так как \( BO = CO \)).
  6. \( ∠ AOD = ∠ BOC = 100^\circ \) (вертикальные углы).
  7. \( ∠ EOD \) — это внешний угол треугольника \( △ AOD \).
  8. В \( △ AOB \) \( AO = BO \), значит, он равнобедренный. \( E \) — середина \( AB \). \( OE \) — медиана, высота и биссектриса. \( ∠ AOE = ∠ BOE = \frac{1}{2} ∠ AOB \).
  9. \( ∠ AOB = 180^\circ - ∠ AOD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
  10. \( ∠ EOB = 80^\circ / 2 = 40^\circ \).
  11. В \( △ EOD \): \( ∠ OED \) — внешний угол \( △ AOE \).
  12. Рассмотрим \( △ AOD \). \( AO = DO \). \( ∠ OAD = 40^\circ \), \( ∠ ODA = 40^\circ \).
  13. \( ∠ EOD \) является смежным к \( ∠ AOE \). \( ∠ AOE = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
  14. \( ∠ EOD \) — это угол между \( OE \) и \( OD \).
  15. Из \( △ AOD \), \( ∠ ODA = 40^\circ \).
  16. Рассмотрим \( △ EOD \). \( ∠ DOE = ? \).
  17. \( ∠ AOE = 180^\circ - ∠ AOB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
  18. \( ∠ EOD = 180^\circ - ∠ AOE = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
  19. Другой способ: \( ∠ EOD \) — смежный \( ∠ AOE \). \( ∠ AOB = 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Это ошибка, \( ∠ AOB \) не 90.
  20. \( ∠ AOB = 180^\circ - ∠ OAB - ∠ OBA \). \( ∠ OAB = 50^\circ \), \( ∠ OBA = 40^\circ \).
  21. \( ∠ AOB = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ \). Это все еще неверно. \( ∠ BAC = 50^\circ \), \( ∠ ABD = 50^\circ \). \( ∠ ABC = 90^\circ \). \( ∠ ACB = 40^\circ \).
  22. \( ∠ BOC = 180^\circ - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
  23. \( ∠ AOD = 100^\circ \) (вертикальные).
  24. \( ∠ AOB = ∠ COD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
  25. \( △ AOB \) равнобедренный \( (AO = BO) \). \( E \) — середина \( AB \). \( OE \) — медиана, следовательно, и высота. \( ∠ AOE = ∠ BOE = 80^\circ / 2 = 40^\circ \).
  26. \( ∠ EOD \) — смежный с \( ∠ AOE \).
  27. \( ∠ EOD = 180^\circ - ∠ AOE = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
  28. Альтернативно, \( ∠ EOD \) — это угол между \( OE \) и \( OD \).
  29. Рассмотрим \( △ EOD \). \( ∠ OED \) — внешний угол \( △ AOE \).
  30. В \( △ AOD \): \( ∠ OAD = 40^\circ \), \( ∠ ODA = 40^\circ \). \( ∠ AOD = 100^\circ \).
  31. \( ∠ EOD \) = \( ∠ EOA \) + \( ∠ AOD \) - ?
  32. \( OE \) перпендикулярно \( AB \).
  33. \( ∠ EOD \) = \( ∠ DOE \).
  34. \( ∠ DOE \) = \( ∠ DOA \) + \( ∠ AOE \) = \( 100^\circ + 40^\circ \) — это сумма.
  35. \( ∠ EOD \) = \( ∠ EOA \) + \( ∠ AOD \) = \( 40^\circ + 100^\circ \) ???
  36. ∠ EOD. Треугольник △ AOD равнобедренный, ∠ ODA = 40°.
  37. ∠ EOB = 40°.
  38. ∠ EOD = ∠ EOB + ∠ BOD = 40° + 40° = 80°. (неправильно, ∠ BOD = ∠ ABD + ∠ ADB = 50+40=90)
  39. ∠ BOD = 90° - ∠ DBC (не так)
  40. ∠ BOD = 80° (из △ AOB)
  41. ∠ EOD = ∠ EOB + ∠ BOD = 40° + 80° = 120° (неверно)
  42. ∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 100 + 80 = 180 (не так)
  43. ∠ BOD = ∠ BOC - ∠ DOC (не так)
  44. ∠ BOD = ∠ ABC - ∠ ABO = 90 - 40 = 50 (не так)
  45. ∠ BOD = ∠ ADB = 40 (не так)
  46. ∠ BOD = ∠ BCD = 90 (не так)
  47. ∠ BAC = 50^\(\circ\). \( △ AOB \) равнобедренный. \( ∠ OAB = 50^\circ \), \( ∠ OBA = 50^\circ \). \( ∠ AOB = 180 - 100 = 80^\circ \).
  48. ∠ BOC = 180 - 80 = 100^\(\circ\). \( ∠ OBC = 100/2 = 50^\circ \).
  49. ∠ ABC = 90^\(\circ\). \( ∠ ABO = 90 - 50 = 40^\circ \).
  50. ∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC.
  51. ∠ ABD = ∠ ABC - ∠ OBC = 90 - 50 = 40^\(\circ\).
  52. ∠ BAC = 50^\(\circ\). \( ∠ ABD = 50^\circ \).
  53. ∠ ADB = 40^\(\circ\). \( ∠ CBD = 40^\circ \).
  54. \( ∠ AOB = 180 - (50+40) = 90^\circ \) (так как \( ∠ OAB = 50^\circ \), \( ∠ OBA = 40^\circ \)).
  55. \( ∠ BOC = 180 - 90 = 90^\circ \).
  56. \( ∠ AOD = 90^\circ \), \( ∠ COD = 90^\circ \).
  57. △ AOB равнобедренный \( (AO = BO) \). \( OE \) — медиана, следовательно, высота. \( ∠ AOE = ∠ BOE = 90/2 = 45^\circ \).
  58. ∠ EOD = ∠ AOE + ∠ AOD = 45^\(\circ\) + 90^\(\circ\) = 135^\(\circ\).
  59. ∠ EOD = ∠ EOB + ∠ BOD = 45^\(\circ\) + 90^\(\circ\) = 135^\(\circ\).
  60. ∠ EOD = 180^\(\circ\) - ∠ AOE = 180^\(\circ\) - 45^\(\circ\) = 135^\(\circ\).

Ответ: 135°.