3) В прямоугольной системе координат построена окружность с центром в точке О(2; 3). Точка А(7; 3) — точка данной окружности. Постройте данную окружность. Пользуясь рисунком, определите радиус окружности. Найдите: а) диаметр окружности; б) длину окружности; в) площадь круга, который ограничивает данная окружность.

Решение:

Центр окружности находится в точке \( O(2; 3) \). Точка \( A(7; 3) \) лежит на окружности.

Радиус окружности — это расстояние между центром \( O \) и точкой \( A \) на окружности. Так как координаты \( y \) у точек \( O \) и \( A \) совпадают ( \( y=3 \) ), радиус можно найти как разность координат \( x \):

\( r = |x_A - x_O| = |7 - 2| = 5 \)

Итак, радиус окружности равен \( 5 \) единиц.

а) Диаметр окружности:

Диаметр \( d \) равен удвоенному радиусу:

\( d = 2r = 2 \times 5 = 10 \) единиц.

б) Длина окружности:

Длина окружности \( C \) вычисляется по формуле \( C = 2\pi r \) или \( C = \pi d \):

\( C = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \) единиц.

в) Площадь круга:

Площадь круга \( S \) вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \):

\( S = \pi \times 5^2 = 25\pi \) квадратных единиц.

Построение окружности:

Для построения окружности с центром в \( O(2; 3) \) и радиусом \( 5 \) единиц, нарисуйте систему координат, отметьте точку \( O \). Затем отмерьте \( 5 \) единиц вправо от \( O \) до точки \( A(7; 3) \), вверх до \( (2; 8) \), влево до \( (-3; 3) \) и вниз до \( (2; -2) \). Соедините эти точки плавной линией, образуя окружность.

Ответ:

а) Диаметр окружности: 10 единиц.

б) Длина окружности: \( 10\pi \) единиц.

в) Площадь круга: \( 25\pi \) квадратных единиц.